Question

4．若曲線ρ²-2aρcosθ-2aρsinθ+2a²-4=0上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程：（x-a）²+（y-a）²=4．以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的方程為：x²+y²=4．由于已知曲線上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，可得：上述兩個(gè)圓相交，即可得出．

解答 解：曲線ρ²-2aρcosθ-2aρsinθ+2a²-4=0，化為：x²+y²-2ax-2ay+2a²-4=0，配方為：（x-a）²+（y-a）²=4，
以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的方程為：x²+y²=4．
∵已知曲線上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，
∴上述兩個(gè)圓相交，
∴2-2＜$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$＜2+2，
解得-2＜a＜2，且a≠0．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2＜a＜2，且a≠0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．