14．已知首項都是1的兩個數(shù)列{an}，{bn}（bn≠0．n∈N*）滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0．令cn=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求證數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，并求{cn}的通項公式．

分析 首項都是1的兩個數(shù)列{an}，{bn}（bn≠0．n∈N*）滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$$-\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$+2=0，又cn=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，可得cn+1-cn=2，即可證明．

解答 證明：∵首項都是1的兩個數(shù)列{an}，{bn}（bn≠0．n∈N*）滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0．
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$$-\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$+2=0，又cn=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，
∴cn+1-cn=2，c1=$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$=1．
∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴cn=1+2（n-1）=2n-1．

點評 本題考查了等差數(shù)列定義及其通項公式，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．

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