Question

蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n個(gè)圖的蜂巢總數(shù)．

(1)試給出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表達(dá)式(不要求證明)；

(2)證明：＋＋＋…＋<.

 

Answer 1

（1）f(n)＝3n2－3n＋1

（2）見(jiàn)解析

【解析】【解析】
(1)f(4)＝37，f(5)＝61.

由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，

f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，

f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，

f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，

…

因此，當(dāng)n≥2時(shí)，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，

所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)

＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1

＝3n2－3n＋1.

又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，

所以f(n)＝3n2－3n＋1.

(2)證明：當(dāng)k≥2時(shí)，

＝<＝ (－)．

所以＋＋＋…＋<1＋ [(1－)＋(－)＋…＋(－)]

＝1＋ (1－)<1＋＝.