Question

13．已知α，β是三次函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}$+2bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，且 α∈（0，1），β∈（1，2），則$\frac{b-1}{a-1}$的范圍（　�。�

• A． $（0，\frac{1}{2}）$
• B． （0，1）
• C． $（-\frac{1}{2}，0）$
• D． （-1，0）

Answer 1

分析 利用函數(shù)有兩個(gè)極值，則f′（x）=0有兩個(gè)不同的根，即△＞0，又f'（x）=x²+ax+2b，又α∈（0，1），β∈（1，2），列出關(guān)系式．通過$\frac{b-1}{a-1}$的幾何意義是指動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到定點(diǎn)A（2，3）兩點(diǎn)斜率的取值范圍，做出可行域，能求出$\frac{b-1}{a-1}$的取值范圍．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值，
則f′（x）=0有兩個(gè)不同的根，
即△＞0，
又f′（x）=x²+ax+2b，
又α∈（0，1），β∈（1，2），
所以有$\left\{\begin{array}{l}f′（0）＞0\\ f′（1）＜0\\ f′（2）＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}2b＞0\\ 1+a+2b＜0\\ 4+2a+2b＞0\end{array}\right.$．
$\frac{b-1}{a-1}$的幾何意義是指動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到定點(diǎn)A（1，1）兩點(diǎn)斜率的取值范圍，
做出可行域如圖，B（-1，0），D（-3，1）．
由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過AB時(shí)，斜率最大，
此時(shí)斜率為k=$\frac{0-1}{-1-1}$=$\frac{1}{2}$，
直線經(jīng)過AD時(shí)，斜率最小，
此時(shí)斜率為k=0，
所以0＜$\frac{b-1}{a-1}$＜$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的應(yīng)用，線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意可行域的合理運(yùn)用．