Question

過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|=3，求△AOB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線的定義方程求解得出：A（2，2

2

），即直線AF的方程為y=2

2

（x-1）．
立直線與拋物線的方程

y=2 2 (x-1) y2=4x

B（

1

2

，-

2

），運(yùn)用S_△AOB=

1

2

|OF|•|y_A-y_B|求解即可．

解答： 解：如圖所示，由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），
又|AF|=3，由拋物線定義知：點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-1的距離為3，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．
將x=2代入y²=4x得y²=8，由圖知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y=2

2

，
∴A（2，2

2

），
∴直線AF的方程為y=2

2

（x-1）． 
聯(lián)立直線與拋物線的方程

y=2 2 (x-1) y2=4x

解之得 

x= 1 2 y=- 2

或

x=2 y=2 2

由圖知B（

1

2

，-

2

），
∴S_△AOB=

1

2

|OF|•|y_A-y_B|=

1

2

×1×|2

2

+

2

|=

3

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，運(yùn)用方程組求解即可，屬于中檔題．