Question

已知函數(shù)f（x）=log₃（x²+ax+a+5）
（1）當(dāng)a=-3時，求f（x）的定義域；
（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，1）上是遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)函數(shù)的定義域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-3時，令對數(shù)的真數(shù)x²+3x+8＞0，求得x的范圍，可得函數(shù)的定義域．
（2）由題意可得，函數(shù)t=x²+ax+a+5在區(qū)間（-∞，1）上是遞減函數(shù)且真數(shù)t＞0，可得-

a

2

≥1且1+a+a+5≥0，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-3時，f（x）=log₃（x²-3x+2），令對數(shù)的真數(shù)x²+3x+8=（x-1）（x-2）＞0，
求得x＜1，或x＞2，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（2，+∞）．
（2）∵f（x）在區(qū)間（-∞，1）上是遞減函數(shù)，∴函數(shù)t=x²+ax+a+5在區(qū)間（-∞，1）上是遞減函數(shù)且真數(shù)t＞0，
∴-

a

2

≥1且1+a+a+5≥0，求得-3≤a≤-2．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．