Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），當k為整數(shù)時，向量$\overrightarrow{m}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$ 的夾角能否為60°？證明你的結論．

Answer 1

分析 ：假設向量$\overrightarrow{m}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$ 的夾角能為為60°，利用條件以及兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的數(shù)量積公式求得k²-4k+1=0，根據此方程無整數(shù)解，可得向量$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角不能為60°．

解答 解：假設向量$\overrightarrow{m}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$ 的夾角能為為60°，
則cos 60°=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{m}$|•|$\overrightarrow{n}$|①．
又∵$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=k$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+k²•$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+k${\overrightarrow}^{2}$=2k ②，
|m||n|=$\sqrt{{k}^{2}{•\overrightarrow{a}}^{2}+2k•\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$•$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2k•\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+k}^{2}{•\overrightarrow}^{2}}$=k²+1 ③，
由①②③，得2k=$\frac{1}{2}$ （k²+1），∴k²-4k+1=0．
∵該方程無整數(shù)解，∴當k為整數(shù)時，$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$ 的夾角不能為60°．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．