3.已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x+$\frac{1}{a}$|(a>0)
(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)>3的解集;
(2)證明:f(m)+f(-$\frac{1}{m}$)≥4.

分析 (1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式即|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|>3,再利用對(duì)值的意義求得它的解集.
(2)由條件利用絕對(duì)值三角不等式、基本不等式,證得要證的結(jié)論.

解答 解:(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)>3,即|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|>3.
而|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2、-$\frac{1}{2}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和,
而0和-3對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-$\frac{11}{4}$、$\frac{1}{4}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于3,
故不等式f(x)>3的解集為{x|x<-$\frac{11}{4}$,或 x>$\frac{1}{4}$}.
(2)證明:∵f(m)+f(-$\frac{1}{m}$)=|m+a|+|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+a||-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|
=(|m+a|+|-$\frac{1}{m}$+a|)+(|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|)≥2(|m+$\frac{1}{m}$|)=2(|m|+|$\frac{1}{m}$|)≥4,
∴原結(jié)論成立.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義,絕對(duì)值不等式的解法,絕對(duì)值三角不等式、基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題

練習(xí)冊(cè)系列答案
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14.已知直線l1:x-2y+3=0和l2:x+2y-9=0的交點(diǎn)為A.
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15.若不等式|x+1|+|$\frac{1}{x}$-1|≤a有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
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11.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,C=$\frac{π}{3}$,若$\overrightarrow{m}$=(c-$\sqrt{6}$,a-b),$\overrightarrow{n}$=(a-b,c+$\sqrt{6}$),且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$,則△ABC的面積為(  )
A.3B.$\frac{9\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$D.3$\sqrt{3}$

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18.已知:sin(α+$\frac{π}{4}$)+2sin(α-$\frac{π}{4}$)=0.
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8.已知f(x)=25-x,g(x)=x+t,設(shè)h(x)=max{f(x),g(x)}.若當(dāng)x∈N+時(shí),恒有h(5)≤h(x),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-5,-3].

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15.如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=4,CD=2,AC與BD交于O,且AC⊥BD,矩形ACEF⊥底面ABCD,M為EF上一動(dòng)點(diǎn),滿足$\overrightarrow{EM}$=λ$\overrightarrow{EF}$.
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(Ⅱ)當(dāng)λ=$\frac{1}{3}$時(shí),銳二面角D-AM-B的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{14}$,求多面體ABCDEF的體積.

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12.已知函數(shù)y=xex+x2+2x+a恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( 。
A.(-∞,$\frac{1}{e}$+1]B.(-∞,$\frac{1}{e}$+1)C.($\frac{1}{e}$+1,+∞)D.($\frac{1}{e}$,+∞)

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13.設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),且對(duì)任意n∈N*都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2,其中Sn為數(shù)列{an}的前n和.
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(3)設(shè)bn=3n+(-1)n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$(λ為非零整數(shù),n∈N*)試確定λ的值,使得對(duì)任意n∈N*,都有bn+1>bn成立.

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