Question

15．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，AC與BD交于O，且AC⊥BD，矩形ACEF⊥底面ABCD，M為EF上一動點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{EM}$=λ$\overrightarrow{EF}$．
（Ⅰ）若AM∥平面EBD，求實(shí)數(shù)λ的值；
（Ⅱ）當(dāng)λ=$\frac{1}{3}$時，銳二面角D-AM-B的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{14}$，求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)OE，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知OE∥AM，故而四邊形EMAO為平行四邊形，于是$\frac{EM}{EF}=\frac{AO}{AC}$；
（II）以O(shè)為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出平面ADM和平面ABM的法向量，根據(jù)二面角的大小，列方程求出CE，代入棱錐的體積公式即可．

解答 解：（Ⅰ）連接OE，在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴△DOC∽△BOA，∴$\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{CD}=2$．
∵AM∥平面BDE，平面ACM∩平面BDE=OE，AM?平面ACM，
∴AM∥OE．
又ME∥AO，∴四邊形MEOA為平行四邊形，
∴EM=AO．
∴$\frac{EM}{EF}$=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{2}{3}$，即λ=$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）∵距形ACEF⊥底面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴CE⊥底面ABCD．∵$\frac{EM}{MF}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$，
∴OM⊥底面ABCD．
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OM所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)CE=a（a＞0），∵△DAB≌△CBA，∴∠OBA=OAB，
∴OA=OB=2$\sqrt{2}$，同理OC=OD=$\sqrt{2}$，
∴A（2$\sqrt{2}$，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），D（0，-$\sqrt{2}$，0），M（0，0，a），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-2$\sqrt{2}$，0，a），$\overrightarrow{AD}$=（-2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0）．
設(shè)平面AMD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面AMB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂）．
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}{x}_{1}+a{z}_{1}=0}\\{-2\sqrt{2}{x}_{1}-\sqrt{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}{x}_{2}+a{z}_{2}=0}\\{-2\sqrt{2}{x}_{2}+2\sqrt{2}{y}_{2}=0}\end{array}\right.$
令x₁=x₂=a，得$\overrightarrow{m}$=（a，-2a，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{n}$=（a，a，2$\sqrt{2}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{8-{a}^{2}}{\sqrt{5{a}^{2}+8}\sqrt{8+2{a}^{2}}}$，
∴|$\frac{8-{a}^{2}}{\sqrt{5{a}^{2}+8}\sqrt{8+2{a}^{2}}}$|=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，解得：a=2．
∴多面體的體積為V=V_D-ACEF+V_B-ACEF
=$\frac{1}{3}{S}_{矩形ACEF}•OD$+$\frac{1}{3}{S}_{矩形ACEF}•OB$=$\frac{1}{3}{S}_{矩形ACEF}•BD$=$\frac{1}{3}×2×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=12．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的性質(zhì)，空間向量與空間角的計算，棱錐的體積計算，屬于中檔題．