6.如圖,在四棱錐A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=$\sqrt{2}$.
(1)證明:DE⊥平面ACD;
(2)求棱錐C-ABD的體積.

分析 (1)利用梯形的性質(zhì)求出BC,利用勾股定理得出AC⊥BC,于是AC⊥平面BCDE,得出AC⊥DE,又DE⊥CD得出DE⊥平面BCDE;
(2)VC-ABD=VA-BCD=$\frac{1}{3}$S△BCD•AC.

解答 解:(1)在直角梯形BCDE中,
∵DE=BE=1,CD=2,∴BC=$\sqrt{(2-1)^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$,
又AB=2,AC=$\sqrt{2}$,
∴AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC,AC?平面ABC,
∴AC⊥平面BCDE,又DE?平面BCDE,
∴AC⊥DE,又DE⊥DC,AC∩CD=C,
∴DE⊥平面ACD.
(2)VC-ABD=VA-BCD=$\frac{1}{3}$S△BCD•AC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定定理,棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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