Question

8．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA₁=2，AD=CD=$\sqrt{5}$，且點M和N分別為B₁C和DD₁的中點．
（1）求證：MN∥平面ABCD；
（2）求直線AD₁和平面ACB₁所成角的正弦值；
（3）求點M到平面ACD₁的距離．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標原點，以AC、AB、AA₁所在直線分別為x、y、z軸建系，通過平面ABCD的一個法向量與$\overrightarrow{MN}$的數(shù)量積為0，即得結(jié)論；
（2）求出平面ACB₁的法向量，利用向量的夾角公式，求直線AD₁和平面ACB₁所成角的正弦值；
（3）求出平面ACD₁的法向量，即可求點M到平面ACD₁的距離．

解答 （1）證明：如圖，以A為坐標原點，以AC、AB、AA₁所在直線分別為x、y、z軸建系，
則A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，-2，0），A₁（0，0，2），B₁（0，1，2），C₁（2，0，2），D₁（1，-2，2），
又∵M、N分別為B₁C、D₁D的中點，∴M（1，$\frac{1}{2}$，1），N（1，-2，1）．
由題可知：$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面ABCD的一個法向量，$\overrightarrow{MN}$=（0，-$\frac{5}{2}$，0），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}$=0，MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；
（2）解：設平面ACB₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{y+2z=0}\end{array}\right.$，∴取$\overrightarrow{m}$=（0，2，-1），
∵$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（1，-2，2），
∴直線AD₁和平面ACB₁所成角的正弦值=|$\frac{-4-2}{\sqrt{5}•\sqrt{9}}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（3）解：設平面ACD₁的法向量為$\overrightarrow{m′}$=（x′，y′，z′），
則∵$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（1，-2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x′=0}\\{x′-2y′+2z′=0}\end{array}\right.$，∴取$\overrightarrow{m′}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{AM}$=（1，$\frac{1}{2}$，1），∴點M到平面ACD₁的距離d=$\frac{\frac{1}{2}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查直線與平面平行、點M到平面ACD₁的距離、直線與平面所成的角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．