Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為-1．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)g（x）=e^x-x²，當x＞0時，g（x）＞0恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a，再利用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的極值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：由f（x）=e^x-ax得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，
∴f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=0得x=ln2，
當x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴當x=ln2時，f（x）有極小值為f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4．
f（x）無極大值．
（2）證明：∵g（x）=e^x-x²，∴g′（x）=e^x-2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴當x＞0時，g（x）＞g（0）＞0，即g（x）＞0恒成立．

點評 該題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．