分析 (Ⅰ)求出圓A的圓心為A(−√3,0),半徑,設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r2,通過r2=|MB|.|MA|=r1-r2,用|MA|+|MB|=4,求解方程即可.
(Ⅱ) 設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0),聯(lián)立直線與橢圓方程,P(x1,kx1+b),Q(x1,kx1+b),利用韋達(dá)定理,求出kPN+kQN=0.得到直線系方程為y=kx-k,求出定點(diǎn)(1,0).
解答 解:(Ⅰ)圓A的圓心為A(−√3,0),半徑r1=4.
設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r2,依題意有r2=|MB|.
由 |AB|=2√3,可知點(diǎn)B在圓A內(nèi),從而圓M內(nèi)切于圓A,故|MA|=r1-r2,
即|MA|+|MB|=4>2√3.
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E是以A、B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,
其方程為x24+y2=1.…(5分)
(Ⅱ) 設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0),聯(lián)立{y=kx+bx2+4y2=4消去y得,(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0,△=16(4k2-b2+1).
設(shè)P(x1,kx1+b),Q(x1,kx1+b),
則x1+x2=−8kb1+4k2,x1x2=4b2−41+4k2.…(7分)
于是kPN+kQN=kx1+bx1−4+kx2+bx2−4=2kx1x2−(4k−b)(x1+x2)−8b(x1−4)(x1−4),
由∠ONP=∠ONQ,
知kPN+kQN=0.即:2kx1x2-(4k-b)(x1+x2)-8b=2k42−41+4k2−(4k−b)−8kb1+4k2−8b
=8k2−8k1+4k2+32k2b−8k21+4k2−8b=0,得b=-k,△=16(3k2+1)>0,
故動(dòng)直線l的方程為y=kx-k,過定點(diǎn)(1,0).…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,軌跡方程的求法,考查計(jì)算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 即不充分也不必要條件 |
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A. | 0 | B. | 8 | C. | 9 | D. | 10 |
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A. | 4π3 | B. | 2π | C. | 8π3 | D. | 3π |
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A. | 16 | B. | 14 | C. | 38 | D. | 12 |
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A. | [2√33,+∞) | B. | [√33,+∞) | C. | (0,2√33] | D. | (0,43) |
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A. | 12 | B. | 27 | C. | 37 | D. | 47 |
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