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12.已知定圓A:x+32+y2=16,動(dòng)圓M過點(diǎn)B30,且和圓A相切.
(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心M的軌跡E的方程;
(Ⅱ)設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡E交于不同的兩點(diǎn)P、Q,點(diǎn)N(4,0).若P、Q、N三點(diǎn)不共線,且∠ONP=∠ONQ.證明:動(dòng)直線PQ經(jīng)過定點(diǎn).

分析 (Ⅰ)求出圓A的圓心為A30,半徑,設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r2,通過r2=|MB|.|MA|=r1-r2,用|MA|+|MB|=4,求解方程即可.
(Ⅱ) 設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0),聯(lián)立直線與橢圓方程,P(x1,kx1+b),Q(x1,kx1+b),利用韋達(dá)定理,求出kPN+kQN=0.得到直線系方程為y=kx-k,求出定點(diǎn)(1,0).

解答 解:(Ⅰ)圓A的圓心為A30,半徑r1=4.
設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r2,依題意有r2=|MB|.
由 |AB|=23,可知點(diǎn)B在圓A內(nèi),從而圓M內(nèi)切于圓A,故|MA|=r1-r2
即|MA|+|MB|=423
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E是以A、B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,
其方程為x24+y2=1.…(5分)
(Ⅱ) 設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0),聯(lián)立{y=kx+bx2+4y2=4消去y得,(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0,△=16(4k2-b2+1).
設(shè)P(x1,kx1+b),Q(x1,kx1+b),
x1+x2=8kb1+4k2,x1x2=4b241+4k2.…(7分)
于是kPN+kQN=kx1+bx14+kx2+bx24=2kx1x24kbx1+x28bx14x14,
由∠ONP=∠ONQ,
知kPN+kQN=0.即:2kx1x2-(4k-b)(x1+x2)-8b=2k4241+4k24kb8kb1+4k28b
=8k28k1+4k2+32k2b8k21+4k28b=0,得b=-k,△=16(3k2+1)>0,
故動(dòng)直線l的方程為y=kx-k,過定點(diǎn)(1,0).…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,軌跡方程的求法,考查計(jì)算能力.

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