Question

如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行60n mile到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行20n mile到達(dá)海島C．如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，此船需要航行多少距離（保留準(zhǔn)確值）？此時∠CAB的正弦值是多少？

Answer 1

分析：由題意，結(jié)合圖形知，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=60，BC=20，故可由余弦定理求出邊AC的長度，由于此時在△ABC中，∠ABC=120°，三邊長度已知，故可由正弦定理建立方程

BC

sin∠BAC

=

AC

sin∠ABC

，求出∠CAB的正弦值

解答：解：由題意，在△ABC中，∠ABC=180°-75°+15°=120°，AB=60，BC=20
根據(jù)余弦定理得
AC²=AB²+BC²-2AB×BC×cos∠ABC=60²+20²+60×20=100×（36+4+12）=5200，
所以AC=20

13

．
根據(jù)正弦定理，

BC

sin∠BAC

=

AC

sin∠ABC

，
sin∠BAC=

BCsin∠ABC

AC

=

20×sin120°

20 13

=

39

26

．
答：此船需要航行20

13

n mile，∠ABC的正弦值是

39

26

點評：本題是解三角形在實際問題中的應(yīng)用，考查了正弦定理、余弦定理，方位角等知識，解題的關(guān)鍵是將實際問題中的距離、角等條件轉(zhuǎn)化到一個三角形中，正弦定理與余弦定理求角與邊，解三角形在實際測量問題-遙測中有著較為廣泛的應(yīng)用，此類問題求解的重點是將已知的條件轉(zhuǎn)化到一個三角形中方便利用解三角形的相關(guān)公式與定理，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想．