Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2x-cos(2x+

π

2

)．
（Ⅰ）求f(

π

8

)的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡函數(shù)的解析式為f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)+1，由此求得f(

π

8

)的值．
（Ⅱ）根據(jù)f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)+1，求出它的最小正周期，令2kπ-

π

2

＜2x-

π

4

＜2kπ+

π

2

，求出x的范圍，即可得到單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="hmerzmv" class="MathJye">f(x)=2sin2x-cos(2x+

π

2

)=2sin²x+sin2x…（2分）
=1-cos2x+sin2x…（4分）
=

2

sin(2x-

π

4

)+1…（6分）
所以f(

π

8

)=

2

sin(

π

4

-

π

4

)+1=1．…（7分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="onf9x6j" class="MathJye">f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)+1，所以，最小正周期等于 T=

2π

2

=π．…（9分）
又y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為(2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

)，（k∈Z），…（10分）
所以令2kπ-

π

2

＜2x-

π

4

＜2kπ+

π

2

，…（11分）
解得kπ-

π

8

＜x＜kπ+

3π

8

…（12分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

)，（k∈Z）．…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期性以及單調(diào)性，屬于中檔題．