Question

17．（1）若直線$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），過點（1，1），求a+b的最小值．
（2）已知函數y=$\sqrt{（{m^2}-3m+2）{x^2}+2（m-1）x+5}$的定義域為R，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將（1，1）帶入，找到a，b的等式關系．利用基本不等式的可得答案．
（2）函數y定義域為R，只需（m²-3m+2）x²+2（m-1）x+5≥0，即△≤0，m²-3m+2＞0可得實數m的取值范圍

解答 解：（1）直線$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），過點（1，1），
可得$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$，
那么：a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=2+$\frac{a}+\frac{a}$≥2$+2\sqrt{\frac{a}×\frac{a}}=4$（當且僅當a=b時取等號）
故得a+b的最小值為4．
（2）由題意，函數y定義域為R，只需（m²-3m+2）x²+2（m-1）x+5≥0，即△≤0，m²-3m+2＞0，
則4（m-1）²-20（m²-3m+2）≤0，且m²-3m+2＞0，
解得：$m≥\frac{9}{4}$或m≤1，且m＞2或m＜1．
當m²-3m+2=0時，可得m=1或m=2，若m=1，則方程恒為正．
故得實數m的取值范圍是$（-∞，1]∪[\frac{9}{4}，+∞）$．

點評 本題考查了基本不等式的性質的運用和二次不等式的解法和性質．屬于基礎題．