Question

7．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E，F(xiàn)分別為A₁C₁，BC的中點．
（I）求證：平面ABE⊥平面B₁BCC₁
（II）求證：C₁F∥平面ABE
（III）求直線CE和平面ABE所成角的正弦．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面ABE⊥平面B₁BCC₁．
（II）求出平面ABE的法向量，利用向量法能證明C₁F∥平面ABE．
（Ⅲ）求出$\overrightarrow{CE}$和平面ABE的法向量，利用向量法能求出直線CE和平面ABE所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，
∴以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AA₁=AC=2，BC=1，E，F(xiàn)分別為A₁C₁，BC的中點，
∴A（0，$\sqrt{3}$，0），B（0，0，0），A₁（0，$\sqrt{3}$，2），C₁（1，0，2），E（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），
$\overrightarrow{BA}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），
設(shè)平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-4，0，1），
平面B₁BCC₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∴平面ABE⊥平面B₁BCC₁．
（II）F（$\frac{1}{2}$，0，0），C₁（1，0，2），$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（-$\frac{1}{2}$，0，-2），
平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（-4，0，1），
$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}F}$=2-2=0，
∵C₁F?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE．
解：（Ⅲ）C（1，0，0），$\overrightarrow{CE}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），
平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（-4，0，1），
設(shè)直線CE和平面ABE所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CE}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+4}•\sqrt{17}}$=$\frac{4\sqrt{85}}{85}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求示，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．