Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n和1的等差中項，等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=S₃．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)cn=

1

bnbn+1

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，證明：

1

3

≤Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，S_n=2a_n-1，結(jié)合遞推公式a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得

an

an-1

=2，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求由b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，可求公差d，進而可求b_n，
（2）由cn=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和可求T_n，然后結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可證

解答：解：（1）∵a_n是S_n和1的等差中項，∴S_n=2a_n-1…（1分）
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1…（2分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，即 

an

an-1

=2…（3分）
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2n-1，Sn=2n-1…（5分）
設(shè){b_n}的公差為d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2…（7分）
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（2）cn=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（9分）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（10分）
∵n∈N^*，∴Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

…（11分）Tn-Tn-1=

n

2n+1

-

n-1

2n-1

=

1

(2n+1)(2n-1)

＞0
∴數(shù)列{T_n}是一個遞增數(shù)列                                           …（12分）
∴Tn≥T1=

1

3

．…（13分）
綜上所述，

1

3

≤Tn＜

1

2

…（14分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用及數(shù)列的裂項求和及數(shù)列的單調(diào)性在數(shù)列的最值求解中的應(yīng)用