Question

已知二項(xiàng)式(

3	x

+

1

x

)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為256．
（1）求n．
（2）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）：觀察（

3	x

+

1

x

）ⁿ可知，展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為256，即C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=256，從而得n
（2）：利用二項(xiàng)展開(kāi)式中的第r+1項(xiàng)，即通項(xiàng)公式Tr+1=c_n^r（

3	x

）^n-r（

1

x

）^r，將第一問(wèn)的n代入，并整理，令x的次數(shù)為0，解出r，從而得解．

解答：解：（1）由題意得C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=256，
即2ⁿ=256，解得n=8
（2）該二項(xiàng)展開(kāi)式中的第r+1項(xiàng)為Tr+1=

C

r 8

(

3	x

)8-r•(

1

x

)r=

C

r 8

•x

8-4r

3

令

8-4r

3

=0，得r=2，此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為T₃=C₈²=28

點(diǎn)評(píng)：（1）：主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)的求法，要區(qū)別各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)的區(qū)別，本題由于x前面沒(méi)有系數(shù)，所以巧合，展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和正好等于所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=256．
方法2：特殊值代入法：可以令x=1，代入（

3	x

+

1

x

）ⁿ中，直接得2ⁿ=256，解得n=8．
（2）主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，需要用到二項(xiàng)展開(kāi)式中的第r+1項(xiàng)，即通項(xiàng)公式Tr+1=c_n^r（

3	x

）^n-r（

1

x

）^r，要牢記這個(gè)公式，這種題型在高考中經(jīng)常碰到．