Question

如圖,在三棱錐P—ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn),OP⊥底面ABC.

(1)求證OD∥平面PAB;

(2)當(dāng)k=時(shí),求直線PA與平面PBC所成角的大小;

(3)當(dāng)k取何值時(shí),O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心?

Answer 1

(1)證明:∵O、D分別為AC、PC的中點(diǎn),

∴OD∥PA.

又PA平面PAB,

∴OD∥平面PAB.

(2)解:∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC.

又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.

取BC中點(diǎn)E,連結(jié)PE,則BC⊥平面POE.

作OF⊥PE于F,連結(jié)DF,則OF⊥平面PBC,

∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角.

又OD∥PA,∴PA與平面PBC所成角的大小等于∠ODF.

在Rt△ODF中,sin∠ODF=,

∴PA與平面PBC所成的角為arcsin.

(3)解:由(2)知OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC內(nèi)的射影.

∵D是PC的中點(diǎn),若點(diǎn)F是△PBC的重心,則B、F、D三點(diǎn)共線.

∴直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD.

∵OB⊥PC,∴PC⊥BD.

∴PB=BC,即k=1.

反之,當(dāng)k=1時(shí),三棱錐O—PBC為正三棱錐,

∴O在平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心.