Question

已知數(shù)列的首項為，對任意的，定義.
（Ⅰ） 若，
(i)求的值和數(shù)列的通項公式；
(ii)求數(shù)列的前項和；
（Ⅱ）若，且，求數(shù)列的前項的和.

Answer 1

(1) ,,
(2) 當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，

試題分析：(Ⅰ) 解：(i),,     ………………2分
由得
當(dāng)時，
=………4分
而適合上式，所以.………………5分
(ii)由(i)得：     ……………6分

……………7分
                             …………8分
(Ⅱ)解：因為對任意的有，
所以數(shù)列各項的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為.        …………9分
又?jǐn)?shù)列的前6項分別為，且這六個數(shù)的和為8. ……………10分
設(shè)數(shù)列的前項和為，則，
當(dāng)時，
，       ……………11分
當(dāng)時，

 ，                    …………12分
當(dāng)時
所以，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，. ……………13分
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是對于數(shù)列的遞推關(guān)系的理解和運(yùn)用，并能結(jié)合裂項法求和，以及分情況討論求和，屬于中檔題。