Question

17．已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點O重合，極軸與x軸的正半軸重合．曲線C₁：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+5cost}\\{y=5+5sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）寫出曲線C₁的直角坐標方程和C₂的普通方程；
（2）求C₁與C₂交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角差的余弦公式將ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）展開，求得ρcosθ+ρsinθ=2，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，代入即可求得曲線C₁的直角坐標方程，將曲線C₂消去t可得到到曲線C₂的普通方程；
（2）將直線方程與圓的方程聯(lián)立解得交點坐標，并將其轉化成極坐標的形式．

解答 解：（1）∵ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$⇒ρcosθ+ρsinθ=2，①
將$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入①即可得到曲線C₁的直角坐標方程：x+y-2=0，
將$\left\{\begin{array}{l}{x=4+5cost}\\{y=5+5sint}\end{array}\right.$消去參數(shù)t，得到曲線C₂的普通方程為（x-4）²+（y-5）²=25；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{（{x-4）}^{2}+（y-5）^{2}=25}\end{array}\right.$，聯(lián)立解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，
將$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$轉化成極坐標（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
將$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$轉化成極坐標（2，$\frac{π}{2}$），
∴C₁與C₂交點的極坐標（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），（2，$\frac{π}{2}$）．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、圓的參數(shù)方程的應用、直線與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．