Question

8．已知f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，有f（x+1）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）=log₂（x+1），給出下列命題：
①f（2014）+f（-2015）=0；
②函數(shù)f（x）在定義域上是周期為2的函數(shù)；
③直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象有2個交點；
④函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）．
其中正確的是①④．

Answer 1

分析 當(dāng)x≥0時，可得f（x+2）=f（x），故函數(shù)在[0，+∞）上周期為2，計算f（2014），f（-2015）判斷①，計算f（$\frac{1}{2}$）和f（-$\frac{3}{2}$）判斷②，通過判斷y=x與f（x）=log₂（x+1）的交點個數(shù)判斷③，利用函數(shù)的奇偶性與[0，4）上的值域判斷④．

解答 解：（1）∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1），
∴f（x）=f（x+2），（x≥0），
∴當(dāng)x≥0時，f（x）的周期為T=2．
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（2014）=f（0）=log₂1=0，
f（-2015）=f（2015）=f（1）=-f（0）=0，
∴f（2014）+f（-2015）=0，故①正確．
（2）∵f（$\frac{1}{2}$）=log₂$\frac{3}{2}$，f（-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=-log₂$\frac{3}{2}$，
∴f（-$\frac{3}{2}$）≠f（$\frac{1}{2}$），∴f（x）不是周期為2的函數(shù)，故②錯誤．
（3）當(dāng)x∈[0，1）時，f′（x）=$\frac{1}{（x+1）ln2}$，∴f′（0）=$\frac{1}{ln2}$＞1，
∴直線y=x與f（x）=log₂（x+1）有兩個交點，交點坐標(biāo)分別為（0，0），（1，1）．
∵x≠1，∴直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象有1個交點（0，0）．故③錯誤．
（4）當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）=log₂（x+1）是增函數(shù)，∴f（x）∈[0，1），
∴當(dāng)x∈[1，2）時，f（x）=-f（x-1）=-log₂x，∴f（x）∈（-1，0]，
∴f（x）在[0，+∞）上是周期為2的函數(shù)，且f（x）為偶函數(shù)，
∴f（x）的值域為（-1，1），故④正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性，單調(diào)性，周期性的應(yīng)用，函數(shù)零點的個數(shù)判斷，屬于中檔題．