Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象與y軸的交點為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標(biāo)分別為（x₀，2）和（x₀+2π，-2）．

（Ⅰ）求f（x）的解析式及x₀的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，π]上的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）=

8

5

，x∈（0，

π

3

），求cosx的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由圖象得出A、T的值，求出ω、φ的值，即得f（x）與x₀的值；
（Ⅱ）由f（x）的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）由f（x）=

8

5

，求出sin（

1

2

x+

π

6

）=

4

5

，從而求出cos（x+

π

3

）、sin（x+

π

3

）的值，即可求出cosx的值．

解答： 解：（Ⅰ）由圖象知，A=2，

T

2

=2π，∴T=4π，
∴ω=

2π

T

=

1

2

；
又∵圖象過點（0，1），
∴2sinφ=1，∴sinφ=

1

2

；
又∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

；
∴f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

）；
又∵（x₀，2）是f（x）在y軸右側(cè)的第1個最高點，
∴

1

2

x₀+

π

6

=

π

2

，解得x₀=

2π

3

；
（Ⅱ）∵x∈[-π，π]，∴

1

2

x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴當(dāng)

1

2

x+

π

6

∈[-

π

3

，

π

2

]時，f（x）是增函數(shù)，此時x∈[-π，

2π

3

]，
當(dāng)

1

2

x+

π

6

∈[

π

2

，

2π

3

]時，f（x）是減函數(shù)，此時x∈[

2π

3

，π]，
∴f（x）的增區(qū)間為[-π，

2π

3

]，減區(qū)間為[

2π

3

，π]；
（Ⅲ）當(dāng)f（x）=

8

5

時，
2sin（

1

2

x+

π

6

）=

8

5

，
∴sin（

1

2

x+

π

6

）=

4

5

，
∴cos（x+

π

3

）=1-2sin²（

1

2

x+

π

6

）=1-2×

16

25

=-

7

25

；
又∵x∈（0，

π

3

），∴x+

π

3

∈（

π

3

，

2π

3

），
∴sin（x+

π

3

）=

24

25

，
∴cosx=cos[（x+

π

3

）-

π

3

]=cos（x+

π

3

）cos

π

3

+sin（x+

π

3

）sin

π

3

=-

7

25

×

1

2

+

24

25

×

3

2

=

24 3 -7

50

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)求值的應(yīng)用問題，考查了三角函數(shù)的恒等變換問題，是綜合題．