Question

袋子里有大小相同的3個紅球和4個黑球，今從袋子里隨機(jī)取球．
（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取1個球，求取出1個紅球2個黑球的概率；
（Ⅱ）若無放回地取3次，每次取1個球，
①求在前2次都取出紅球的條件下，第3次取出黑球的概率；
②求取出的紅球數(shù)X 的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記“取出1個紅球2個黑球”為事件A，根據(jù)題意可得其發(fā)生的概率，進(jìn)而得到答案． 
（Ⅱ）①記“在前2次都取出紅球”為事件B，“第3次取出黑球”為事件C，分別求出其發(fā)生的概率，再結(jié)合條件概率的公式求出答案．
②隨機(jī)變量X 的所有取值為0，1，2，3．根據(jù)題意分別求出其發(fā)生的概率，即可得到X的分布列進(jìn)而求出X的期望．

解答：解：（Ⅰ）記“取出1個紅球2個黑球”為事件A，
根據(jù)題意有P(A)=

C

1 3

(

3

7

)×(

4

7

)2=

144

343

；
 所以取出1個紅球2個黑球的概率是

144

343

．
（Ⅱ）①記“在前2次都取出紅球”為事件B，“第3次取出黑球”為事件C，
則P(B)=

3×2

7×6

=

1

7

，P(BC)=

3×2×4

7×6×5

=

4

35

，
所以P(C|B)=

P(BC)

P(B)

=

4 35

1 7

=

4

5

．
所以在前2次都取出紅球的條件下，第3次取出黑球的概率是

4

5

．
②隨機(jī)變量X 的所有取值為0，1，2，3．
P(X=0)=

C 3 4 • A 3 3

A 3 7

=

4

35

，P(X=1)=

C 2 4 C 1 3 • A 3 3

A 3 7

=

18

35

，
P(X=2)=

C 1 4 C 2 3 • A 3 3

A 3 7

=

12

35

，P(X=3)=

C 3 3 • A 3 3

A 3 7

=

1

35

．
所以X的分布列為：

所以EX=0×

4

35

+1×

18

35

+2×

12

35

+3×

1

35

=

45

35

=

9

7

．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是首先讓學(xué)生清楚有放回與無放回這兩種模型的區(qū)別，應(yīng)該清楚每種情況對應(yīng)的基本事件空間是誰，同時要弄清楚序的問題，一個總的問題：分子和分母同時有序或無序．還要注意條件概率問題中的相關(guān)定義，誰是條件．