Question

某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽，第一輪選拔共設(shè)有A、B、C、D四個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：
①每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問(wèn)題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯(cuò)任一題減2分；
②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；
③每位參加者按問(wèn)題A、B、C、D順序作答，直至答題結(jié)束．
假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題A、B、C、D回答正確的概率依次為，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．
(Ⅰ)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；
(Ⅱ)用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ。

Answer 1

解：設(shè)A、B、C、D分別為第一、二、三、四個(gè)問(wèn)題，
用M_i(i=1，2，3，4)表示甲同學(xué)第i個(gè)問(wèn)題回答正確，
用N_i(i=1，2，3，4)表示甲同學(xué)第i個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，則M_i與N_i是對(duì)立事件(i=1，2，3，4)，
由題意得，，
所以，
(Ⅰ)記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件Q，
則，
由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，因此





；
(Ⅱ)由題意，隨機(jī)變量ξ的可能取值為2，3，4，
由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，
所以，


，
，
因此隨機(jī)變量ξ的分布列為
 
所以。