Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1．
（1）若a=0，b∈（-1，2）求函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)的概率；
（2）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a=0，f（x）=-4bx+1，是增函數(shù)，則-1＜b＜0，而試驗(yàn)發(fā)生所包含的區(qū)間為b∈（-1，2），利用幾何概率的計(jì)算公式可求
（2）根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，得到試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域和滿足條件的事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域，做出面積，利用幾何概型計(jì)算公式得到結(jié)果．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）當(dāng)a=0，f（x）=-4bx+1，若y=f（x）是增函數(shù)，則b＜0．…（2分）
∵b∈（-1，2），∴所求事件的概率為

1

3

．…（4分）
（2）∵函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對(duì)稱軸為x=

2b

a

，要使函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且

2b

a

≤1，即2b≤a．，…（6分）
依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?span id="684i46q" class="MathJye">

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿鐖D陰影部分．…（8分）

由

a+b-8=0 b= 1 2 a

得交點(diǎn)坐標(biāo)為（

16

3

，

8

3

）．．…（10分）
∴所求事件的概率為P=

1 2 ×8× 8 3

1 2 ×8×8

=

1

3

..…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由長(zhǎng)度、面積度量的幾何概率的求解，幾何概型的概率的值是通過(guò)長(zhǎng)度、面積、和體積的比值得到．