Question

10．若函數(shù)f（x）=$\frac{|x-1|}{x+2}$與g（x）=k（x-1）³的圖象恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{1}{4}$）
• B． （0，+∞）
• C． （-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（0，+∞）
• D． （-$\frac{1}{4}$，0）

Answer 1

分析 討論x的取值，去掉絕對(duì)值，當(dāng)x≠1時(shí)，$\frac{1}{k}$=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）（x-1）^{2}，x＞1}\\{-（x+2）（x-1）^{2}，x＜1}\end{array}\right.$，令h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）（x-1）^{2}，x＞1}\\{-（x+2）（x-1）^{2}，x＜1}\end{array}\right.$，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，畫出圖形，利用圖形，求出有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍．

解答 解：令f（x）=g（x）得$\frac{|x-1|}{x+2}=k（x-1）^{3}$，（x≠-2）
顯然x=1為方程f（x）=g（x）的一個(gè)解，
當(dāng)x≠1時(shí)，
$\frac{1}{k}$=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）（x-1）^{2}，x＞1}\\{-（x+2）（x-1）^{2}，x＜1}\end{array}\right.$，
令h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）（x-1）^{2}，x＞1}\\{-（x+2）（x-1）^{2}，x＜1}\end{array}\right.$，
∴h′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-3，x＞1}\\{3-3{x}^{2}，x＜1}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x＞-1時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x＜-1時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（-1，1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，-2），（-2，-1）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，h（x）取得最小值h（-1）=-4．
作出h（x）的函數(shù)圖象如圖所示：$\frac{1}{k}＞0$或$-4＜\frac{1}{k}＜0$．
實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（0，+∞）
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的圖象的交點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，本題由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題．