Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2lnx，h(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+mx+1，，若函數(shù)g（x）=f（x）-h′（x）在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的m取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先求出函數(shù)g（x）的解析式，然后研究函數(shù)g（x）在[1，3]上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)g（x）在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，建立不等關(guān)系

g(1)≥0 g(2)＜0 g(3)＞0

，最后解之即可．

解答：解；g(x)=f(x)-h′(x)=-2lnx+x-m∴g′ (x)=-

2

x

+1，
若g′（x）=0，則x=2
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，g′（x）＞0．
故g（x）在x∈[1，2）上遞減，在x∈（2，3]上遞增．
∴

g(1)≥0 g(2)＜0 g(3)≥0

∴

m≤1 m＞2-2ln2 m≤3-2ln3

∴2-2ln2＜m≤3-2ln3．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（2-2ln2，3-2ln3]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的零點(diǎn)等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．