Question

1．如圖，點(diǎn)A，B是單位圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（${\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}}$），記∠COA=α，且△AOB是正三角形．
（Ⅰ）求$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}$的值；
（Ⅱ）求cos∠COB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sinα和cosα，然后根據(jù)二倍角公式即可求解．
（Ⅱ）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的余弦公式進(jìn)行求解即可．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵A的坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∴根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}=\frac{1+2sinαcosα}{{2{{cos}^2}α}}=\frac{49}{18}$．…（6分）
（Ⅱ）∵△AOB為正三角形，
∴∠AOB=60°．
∴cos∠COB=cos（α+60°）
=cosαcos60°-sinαsin60°．
=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{3-4\sqrt{3}}}{10}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的定義以及兩角和的余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．