Question

10．設(shè)雙曲線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{27}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1有相同的焦點，且與橢圓相交，一個交點A的縱坐標為4，求：
（1）雙曲線的標準方程．
（2）若直線L過A（-1，2），且與雙曲線漸近線y=kx（k＞0）垂直，求直線L的方程．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的焦點，求得A的坐標，設(shè)出雙曲線的方程，由題意可得a²+b²=9，$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{15}{^{2}}$=1，解得a，b，即可得到所求方程；
（2）求得雙曲線的漸近線方程，可得k，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及點斜式方程即可得到所求方程．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{27}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1的焦點為（0，3），（0，-3），
交點A的縱坐標為4，可得A（±$\sqrt{15}$，4），
設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得a²+b²=9，$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{15}{^{2}}$=1，
解得a=2，b=$\sqrt{5}$，
則雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1；
（2）雙曲線$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
由題意可得k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則直線l的斜率為-$\frac{1}{k}$=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即有直線l的方程為y-2=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x+1），
即為$\sqrt{5}$x+2y+$\sqrt{5}$-4=0．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用橢圓的焦點和點滿足雙曲線方程，考查直線的方程的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．