Question

已知焦點為F₁（0，-

5

），F(xiàn)₂（0，

5

）的雙曲線C在第一象限內(nèi)部分記為T，點P_n（n，y_n）（n=1、2、…）在T上，Pn到直線l：y=2x+k的距離為d_n，且

lim

n→∞

d_n=

5

．
（1）設(shè)雙曲線半虛軸長為b，試用b表示d_n；
（2）求雙曲線C的方程及k值；
（3）線段P_nP_n+1的垂直平分線與x軸交于點（x_n，0）（n=1、2、…），試證{x_n}成等差數(shù)列并求通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列與解析幾何的綜合,數(shù)列的極限

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：解：（1）設(shè)雙曲線為

y2

a2

-

x2

b2

=1，由已知求出雙曲線方程為

y2

4

-x2=1，由P_n（n，y_n），得

yn2

4

-xn2=1，由此能求出結(jié)果．
（2）設(shè)雙曲線為

y2

a2

-

x2

b2

=1，由已知得c=

5

，雙曲線漸近線方程為y=

a

b

x，l與漸近線距離d_n=

5

，由此能求出k=±5，雙曲線方程為

y2

4

-x2=1．
（3）由P_n+1（n+1，y_n+1），得yn+1=2

1+(n+1)2

，P_nP_n+1的中點M（

2n+1

2

，

yn+yn+1

2

），由此能求出{x_n}成等差數(shù)列并求通項公式，且x_n=5n+

5

2

．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線為

y2

a2

-

x2

b2

=1，
由已知得c=

5

，a²=5-b²，
點P_n（n，y_n）到直線l：y=2x+k的距離d_n，且

lim

n→∞

d_n=

5

，
雙曲線漸近線方程為y=

a

b

x，l與漸近線距離d_n=

5

，
∴k=±5，∴直線方程為y=2x-5或y=2x+5，
∴a=2b，∴a=2，b=1，
雙曲線方程為

y2

4

-x2=1，
∵P_n（n，y_n），∴

yn2

4

-xn2=1，yn=2

1+n2

，
d_n=

|2n-yn-5|

5

=

2n-2 1+n2 -5

5

．
（2）設(shè)雙曲線為

y2

a2

-

x2

b2

=1，
由已知得c=

5

，a²=5-b²，
點P_n（n，y_n）到直線l：y=2x+k的距離d_n，且

lim

n→∞

d_n=

5

，
雙曲線漸近線方程為y=

a

b

x，l與漸近線距離d_n=

5

，
∴k=±5，∴直線方程為y=2x-5或y=2x+5，
∴a=2b，∴a=2，b=1，
雙曲線方程為

y2

4

-x2=1．
（3）∵P_n（n，y_n），∴P_n+1（n+1，y_n+1），
∴yn+1=2

1+(n+1)2

，
P_nP_n+1的中點M（

2n+1

2

，

yn+yn+1

2

），
∵線段P_nP_n+1的垂直平分線與x軸交于點（x_n，0），
∴x_n=（

2n+1

2

+

yn+12+yn2

2

）
=n+

1

2

+2（2n+1）=5n+

5

2

，
x_n=5n+

5

2

，x_n-1=5n-

5

2

，
∴x_n-x_n-1=5，
∴{x_n}成等差數(shù)列并求通項公式，且x_n=5n+

5

2

．

點評：本題考查雙曲線與數(shù)的綜合應(yīng)用，考查雙曲線性質(zhì)、直線方程、數(shù)列知識的靈活運用，解題時要注意挖掘隱含條件．