Question

6．已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-a，且x=-$\frac{π}{12}$是方程f（x）=0的一個解．
（1）求實數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=b在區(qū)間（0，$\frac{7π}{6}$）上恰有三個不相等的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，直接寫出實數(shù)b的取值范圍及x₁+x₂+x₃的取值范圍（不需要給出解題過程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（-$\frac{π}{12}$）=0求出a的值，再化簡f（x），求出f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)，結(jié)合題意，即可得出b與x₁+x₂+x₃的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-a，且x=-$\frac{π}{12}$是方程f（x）=0的一個解，
∴f（-$\frac{π}{12}$）=0，
即2cos（-$\frac{π}{12}$）sin（-$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）-a=0，
解得a=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$
=2cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-$\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，（k∈Z）；
（3）關(guān)于x的方程f（x）=b在區(qū)間（0，$\frac{7π}{6}$）上恰有三個不相等的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，
則實數(shù)b的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）；
x₁+x₂+x₃的取值范圍是（$\frac{4π}{3}$，$\frac{3π}{2}$）．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問題，是綜合性題目．