Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1）
（1）若a=-4，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=-4時，求出f′（x），（x＞-1），由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）求出f′（x），（x＞-1），由函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，知2x²+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）a=-4，f（x）=x²-4ln（x+1）（x＞-1），
f′（x）=$\frac{2（x+2）（x-1）}{x+1}$，（x＞-1），
∴當(dāng)-1＜x＜1時f'（x）＜0，當(dāng)x＞1時f'（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{{2x}^{2}+2x+a}{x+1}$，（x＞-1）
∵函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴2x²+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，
令t=2x²+2x=2（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，（x≥2），則t≥12，
∴a≥-12．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．