Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象過點（-1，-6），且函數(shù)g（x）=f′（x）+6x的圖象關(guān)于y軸對稱．
（Ⅰ）求m、n的值及函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)的極值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）圖象過點（-1，-6），得m-n=-3，①
由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n，
則g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n；
而g（x）圖象關(guān)于y軸對稱，所以-=0，所以m=-3，
代入①得n=0．
于是f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
由f′（x）＞得x＞2或x＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜2，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）=0得x=0或x=2．
當(dāng)x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

由此可得：
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)有極大值f（O）=-2，無極小值；
當(dāng)a=1時，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)無極值；
當(dāng)1＜a＜3時，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)有極小值f（2）=-6，無極大值；
當(dāng)a≥3時，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)無極值．
綜上得：當(dāng)0＜a＜1時，f（x）有極大值-2，無極小值，當(dāng)1＜a＜3時，f（x）有極小值-6，無極大值；當(dāng)a=1或a≥3時，f（x）無極值．
分析：（Ⅰ）利用條件的到兩個關(guān)于m、n的方程，求出m、n的值，再找函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0對應(yīng)的區(qū)間即可．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，分情況討論區(qū)間（a-1，a+1）和單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系再得結(jié)論．
點評：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，以及分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力．