解:(Ⅰ)f′(x)=x
2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a),又a>0,
∴當(dāng)x<-1時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)-1<x<a時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>a時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為:(-∞,-1),(a,+∞);單調(diào)減區(qū)間為:(-1,a).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減,
從而函數(shù)f(x)在(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點當(dāng)且僅當(dāng)
,解得0<a<
.
所以a的取值范圍是(0,
).
(Ⅲ)a=1時,f(x)=
.由(Ⅰ)知f(x)在[-3,-1]上單調(diào)遞增,在[-1,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增.
(1)當(dāng)t∈[-3,-2]時,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上單調(diào)遞增,在[-1,t+3]上單調(diào)遞減,
因此,f(x)在[t,t+3]上的最大值M(t)=f(-1)=-
,而最小值m(t)為f(t)與f(t+3)中的較小者.
由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,當(dāng)t∈[-3,-2]時,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).
而f(t)在[-3,-2]上單調(diào)遞增,因此f(t)≤f(-2)=-
.所以g(t)在[-3,-2]上的最小值為g(-2)=-
-
=
.
(2)當(dāng)t∈[-2,-1]時,t+3∈[1,2],且-1,1∈[t,t+3].下面比較f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.
由f(x)在[-2,-1],[1,2]上單調(diào)遞增,有f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2).
又由f(1)=f(-2)=-
,f(-1)=f(2)=-
,從而M(t)=f(-1)=-
,m(t)=f(1)=-
.
所以g(t)=M(t)-m(t)=
.
綜上,函數(shù)g(t)在區(qū)間[-3,-1]上的最小值為
.
分析:(Ⅰ)由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系解不等式即可;
(Ⅱ)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點,即其圖象在(-2,0)內(nèi)與x軸有兩個交點,結(jié)合圖象可得出f(-2)、f(0)及極值符號,從而可求出a的范圍;
(Ⅲ)先求出M(t),m(t),再求出g(t),從而可求得g(t)在[-3,-1]上最小值,其間需要根據(jù)極點-1,1所在區(qū)間情況分類討論.
點評:本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,同時考查分析問題、解決問題的能力以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.