Question

【題目】如圖，在平面四邊形中，和都是等腰直角三角形且，正方形的邊.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】試題分析：

（1）由線面垂直的判斷定理可得平面則由平面幾何知識可得，據此有平面．

（2）由題意可知AD，AB，AE兩兩垂直．建立空間直角坐標系，設AB=1，據此可得平面BDF的一個法向量為，取平面ABD的一個法向量為，則二面角的余弦值為．

試題解析：

（1）正方形中，

又且，所以

又

因為和都是等腰直角三角形，

所以，

即，且，

所以．

（2）因為△ABE是等腰直角三角形，所以，

又因為，所以，

即AD，AB，AE兩兩垂直．建立如圖所示空間直角坐標系，

設AB=1，則AE=1，，

，

設平面BDF的一個法向量為，

可得，

取平面ABD的一個法向量為，

則，

故二面角的余弦值為．