Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點A，F(xiàn)分別是橢圓C的左頂點和左焦點，點P是⊙O：x²+y²=b²上的動點，若$\frac{|AP|}{|FP|}$是常數(shù)，則橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)F（-c，0），由c²=a²-b²可求c，P（x₁，y₁），要使得$\frac{|AP|}{|FP|}$是常數(shù)，則有（x₁+a）²+y₁²=λ[（x₁+c）²+y₁²]比較兩邊可得c，a的關(guān)系，結(jié)合橢圓的離心率公式，解方程可得可求．

解答 解：設(shè)F（-c，0），c²=a²-b²，A（-a，0），P（x₁，y₁），
使得$\frac{|AP|}{|FP|}$是常數(shù)，
設(shè)$\frac{|AP|}{|FP|}$=$\sqrt{λ}$，則有（x₁+a）²+y₁²=λ[（c+x₁）²+y₁²]（x，λ是常數(shù)），
即b²+2ax₁+a²=λ（b²+2cx₁+c²），
比較兩邊，b²+a²=λ（b²+c²），a=λc，
故cb²+ca²=a（b²+c²），即ca²-c³+ca²=a³，
即e³-2e+1=0，
∴（e-1）（e²+e-1）=0，
∴e=1或e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∵0＜e＜1，∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．