Question

10．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為AB、C₁D₁的中點(diǎn)，則A₁B₁與平面A₁EF夾角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{4}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A₁B₁與平面A₁EF夾角的正弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則A₁（2，0，2），B₁（2，2，2），E（2，1，0），F(xiàn)（0，1，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（-2，1，0），
設(shè)平面A₁EF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}F}=-2x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），
設(shè)A₁B₁與平面A₁EF夾角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴A₁B₁與平面A₁EF夾角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．