如圖，圓與離心率為的橢圓（）相切于點.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)過點引兩條互相垂直的兩直線、與兩曲線分別交于點、與點、（均不重合）.

(ⅰ)若為橢圓上任一點，記點到兩直線的距離分別為、，求的最大值；

(ⅱ)若，求與的方程.

 

【答案】

(Ⅰ)。

(Ⅱ) 的方程為，的方程為

或的方程為，的方程為。

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由題意: 解得   2分

橢圓的方程為                            3分

(Ⅱ)（�。┰O(shè)因為⊥,則因為

所以            5分

因為 

所以當時取得最大值為，此時點        6分

（ⅱ）設(shè)的方程為,由解得

由   解得                    8分

同理可得，                  10分

所以，

，

由得解得        13分

所以的方程為，的方程為

或的方程為，的方程為             14分

考點：本題主要考橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線橢圓的位置關(guān)系，圓的切線。

點評：難題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）結(jié)合向量的坐標運算，確定得到k的方程，為進一步確定直線方程奠定基礎(chǔ)。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞二模）如圖，圓O與離心率為
3
2
的橢圓T：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相切于點M（0，1）．
（1）求橢圓T與圓O的方程；
（2）過點M引兩條互相垂直的兩直線l1、l2與兩曲線分別交于點A、C與點B、D（均不重合）．
①若P為橢圓上任一點，記點P到兩直線的距離分別為d1、d2，求
d
2
1
+
d
2
2
的最大值；
②若3
MA
•
MC
=4
MB
•
MD
，求l1與l2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年江蘇蘇州高級中學(xué)高三12月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，圓O與離心率為的橢圓T：（）相切于點M。

⑴求橢圓T與圓O的方程；

⑵過點M引兩條互相垂直的兩直線、與兩曲線分別交于點A、C與點B、D（均不重合）。

①若P為橢圓上任一點，記點P到兩直線的距離分別為、，求的最大值；

②若，求與的方程。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，圓O與離心率為的橢圓T：（a＞b＞0）相切于點M（0，1）．
（1）求橢圓T與圓O的方程；
（2）過點M引兩條互相垂直的兩直線l1、l2與兩曲線分別交于點A、C與點B、D（均不重合）．
①若P為橢圓上任一點，記點P到兩直線的距離分別為d1、d2，求的最大值；
②若，求l1與l2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年廣東省東莞市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，圓O與離心率為的橢圓T：（a＞b＞0）相切于點M（0，1）．
（1）求橢圓T與圓O的方程；
（2）過點M引兩條互相垂直的兩直線l1、l2與兩曲線分別交于點A、C與點B、D（均不重合）．
①若P為橢圓上任一點，記點P到兩直線的距離分別為d1、d2，求的最大值；
②若，求l1與l2的方程．

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