Question

已知函數．
（Ⅰ）若函數f（x）有三個零點x₁，x₂，x₃，且，x₂x₃=6，，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若，3a＞2c＞2b，求證：導函數f'（x）在區(qū)間（0，2）內至少有一個零點；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若導函數f'（x）的兩個零點之間的距離不小于，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）因為，因為x₂，x₃是方程的兩根，使用根與系數的關系，再由，求出b、a、c 的值，得到f（x）的 解析式及f'（x）的解析式，由f'（x）＜0求出減區(qū)間．
（Ⅱ） 求出，f'（0）=c，f'（2）=a-c，當c＞0時 f'（x）在區(qū)間（0，1）內至少有一個零點，當c≤0時，f'（x）在區(qū)間（1，2）內至少有一零點．
（Ⅲ）設m，n是導函數f'（x）=ax²+bx+c的兩個零點，由|m-n|≥，及 3a＞2c＞2b，a＞0 求出的取值范圍．
解答：解：（I）因為，又，則．
因為x₂，x₃是方程的兩根，則，．即b=-3a，c=2a．
又，即，所以，，即a=1，從而b=-3，c=2．
所以，．  因為f'（x）=x²-3x+2，由x²-3x+2＜0，得1＜x＜2．
故f（x）的單調遞減區(qū)間是（1，2），單調遞增區(qū)間是（-∞，1），（2+∞）．
（Ⅱ）因為f'（x）=ax²+bx+c，，所以，即3a+2b+2c=0．
因為3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
（1）當c＞0時，因為，則f'（x）在區(qū)間（0，1）內至少有一個零點．
（2）當c≤0時，因為，則f'（x）在區(qū)間（1，2）內至少有一零點．
故導函數f'（x）在區(qū)間（0，2）內至少有一個零點．
（Ⅲ）設m，n是導函數f'（x）=ax²+bx+c的兩個零點，則，．
所以．
由已知，，則，即．
所以，即或．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以，3a＞-3a-2b＞2b，即 ．
因為a＞0，所以．
綜上分析，的取值范圍是．
點評：本題考查利用導數判斷函數的單調性，函數的零點的判斷，二次函數的性質與不等式性質的應用．