設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù),A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m∈Z},C={(x,y)|x2+y2≤144}是平面xOy內(nèi)的點(diǎn)的集合.求證:不存在a、b使得A∩B≠,且(a,b)∈C同樣成立.?

      

證法一:設(shè)存在實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足所給條件,由A∩B≠,知方程組有整數(shù)解,x=n,y=m,代入,并消去m,得?

       3n2-an-(b-15)=0,①?

       Δ=a2+12b-180≥0.②?

       由(a,b)∈C,知a2+b2≤144a2≤144-b2,結(jié)合②,有0≤Δ≤(144-b2)+12b-180,得b=6,且Δ=0.這表明方程①有等根,且n2=n1·n2==3,所以n=±,這與n為整數(shù)矛盾.所以不存在a、b使①②同時(shí)成立.?

       證法二:由柯西不等式:x1y1+x2y2≤,若存在(a,b)∈C,使A∩B≠,則a2+b2≤144,又y=na+b·1≤≤12,且y=3n2+15=3［(1+n2)+4］≥12.其中n∈Z時(shí),上式等號(hào)不成立.所以矛盾,這說(shuō)明a、b不存在.?

       溫馨提示:本題屬存在性命題,用集合語(yǔ)言巧妙地將方程、不等式與曲線(xiàn)、區(qū)域聯(lián)系在一起.由于A(yíng)∩B≠的界限不易確定,正面推理較難,而用反證法,則入口寬,思路多.除了上述兩種方法外,還可以用集合的知識(shí)及用解析法,從方程的幾何意義等方面入手.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a≠b，有下列不等式：①（a+3）2＞2a2+6a+11；②a2+b2≥2（a-b-1）；③a3+b3＞a2b+ab2；④
a
b
+
b
a
＞2．其中恒成立的有（　�。�
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出的下列條件中能推出“a、b中至少有一個(gè)數(shù)大于1”的條件是（　　）
①a+b＞1    ②a+b=2    ③a+b＞2    ④a2+b2＞2    ⑤ab＞1．
A、②③B、③⑤C、③④D、③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（x∈R，p1，p2為常數(shù)）．函數(shù)f（x）定義為：對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x，f(x)=
f1(x)若f1(x)≤f2(x)
f2(x)若f1(x)＞f2(x)

（1）求f（x）=f1（x）對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立的充分必要條件（用p1，p2表示）；
（2）設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為
b-a
2
（閉區(qū)間[m，n]的長(zhǎng)度定義為n-m）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f1（x）=lg|x-p1|，f2（x）=lg（|x-p2|+2）（x∈R，p1，p2為常數(shù)）
函數(shù)f（x）定義為對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x（x≠p1），f(x)=
f1(x)f1(x)≤f2(x)
f2(x)f2(x)≤f1(x)

（1）當(dāng)p1=2時(shí)，求證：y=f1（x）圖象關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)；
（2）求f（x）=f1（x）對(duì)所有實(shí)數(shù)x（x≠p1）均成立的條件（用p1、p2表示）；
（3）設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足a＜b，且p1，p2∈（a，b），若f（a）=f（b）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為
b-a
2
．（區(qū)間[m，n]、（m，n）或（m，n]的長(zhǎng)度均定義為n-m）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：
①a+b＞1；②a+b=2；③a+b＞2；④a2+b2＞2；⑤ab＞1．
其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是（　�。�

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