Question

已知函數(shù)f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（x∈R，p₁，p₂為常數(shù)）．函數(shù)f（x）定義為：對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x，f(x)=

f1(x) 若f1(x)≤f2(x) f2(x) 若f1(x)＞f2(x)

（1）求f（x）=f₁（x）對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立的充分必要條件（用p₁，p₂表示）；
（2）設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足a＜b，且p₁，p₂∈（a，b）．若f（a）=f（b），求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為

b-a

2

（閉區(qū)間[m，n]的長(zhǎng)度定義為n-m）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，先證充分性：由f（x）的定義可知，f（x）=f₁（x）對(duì)所有實(shí)數(shù)成立，等價(jià)于f₁（x）≤f₂（x）對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立等價(jià)于3|x-p1|≤2•3|x-p2|，即3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立，分析容易得證；再證必要性：3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立等價(jià)于3|p1-p2|≤2，即|p₁-p₂|≤log₃2，
（2）分兩種情形討論：①當(dāng)|p₁-p₂|≤log₃2時(shí)，由中值定理及函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度；②當(dāng)|p₁-p₂|＞log₃2時(shí)，a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足a＜b，且p₁，p₂∈（a，b）．若f（a）=f（b），根據(jù)圖象和函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）由f（x）的定義可知，f（x）=f₁（x）（對(duì)所有實(shí)數(shù)x）等價(jià)于f₁（x）≤f₂（x）（對(duì)所有實(shí)數(shù)x）這又等價(jià)于3|x-p1|≤2•3|x-p2|，即3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立．（*）
由于|x-p₁|-|x-p₂|≤|（x-p₁）-（x-p₂）|=|p₁-p₂|（x∈R）的最大值為|p₁-p₂|，
故（*）等價(jià)于3|p1-p2|≤2，即|p₁-p₂|≤log₃2，這就是所求的充分必要條件
（2）分兩種情形討論
（i）當(dāng)|p₁-p₂|≤log₃2時(shí)，由（1）知f（x）=f₁（x）（對(duì)所有實(shí)數(shù)x∈[a，b]）
則由f（a）=f（b）及a＜p₁＜b易知p1=

a+b

2

，
再由f1(x)=

3p1-x，x＜p1 3x-p1，x≥p1

的單調(diào)性可知，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度
為b-

a+b

2

=

b-a

2

（參見示意圖）

（ii）|p₁-p₂|＞log₃2時(shí)，不妨設(shè)p₁＜p₂，則p₂-p₁＞log₃2，于是
當(dāng)x≤p₁時(shí)，有f1(x)=3p1-x＜3p2-x＜f2(x)，從而f（x）=f₁（x）；
當(dāng)x≥p₂時(shí)，有f1(x)=3x-p1=3p2-p1+x-p2=3p2-p1•3x-p2＞3log32•3x-p2=f2(x)
從而f（x）=f₂（x）；當(dāng)p₁＜x＜p₂時(shí)，f1(x)=3x-p1，及f2(x)=2•3p2-x，由方程3x-p1=2•3p2-x
解得f₁（x）與f₂（x）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0=

p1+p2

2

+

1

2

log32（1）
顯然p1＜x0=p2-

1

2

[(p2-p1)-log32]＜p2，
這表明x₀在p₁與p₂之間．由（1）易知f(x)=

f1(x)，p1≤x≤x0 f2(x)，x0＜x≤p2

綜上可知，在區(qū)間[a，b]上，f(x)=

f1(x)，a≤x≤x0 f2(x)，x0＜x≤b

（參見示意圖）

故由函數(shù)f₁（x）及f₂（x）的單調(diào)性可知，f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為（x₀-p₁）+（b-p₂），由于f（a）=f（b），即3p1-a=2•3b-p2，得p₁+p₂=a+b+log₃2（2）
故由（1）、（2）得(x0-p1)+(b-p2)=b-

1

2

[p1+p2-log32]=

b-a

2

綜合（i）（ii）可知，f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為

b-a

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生理解充分必要條件的證明方法，用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決問題的能力，以及充分必要條件的證明方法．