Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）證明：對(duì)?n∈N₊，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的定義域，研究在（0，+∞）上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，往往求出的極大值就是最大值．
（2）要證不等式即證=，所以只需證明lnx＜x（x-1），由第一問可知f（x）≤1，結(jié)論很快得證．
解答：解：（1）∵
令f'（x）=0得x²=1-lnx
顯然x=1是上方程的解．
令g（x）=x²+lnx-1，x∈（0，+∞）
則，∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)，
∴x=1是方程f'（x）=0的唯一解．（4分）
∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)-1＞0，
當(dāng)x＞1時(shí)f'（x）＜0．∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有最大值f（x）_max=f（1）=-1．（6分）
（2）由（1）知當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）_max=f（1）=-1
∴在（0，+∞）上恒有，
對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒有l(wèi)nx≤x（x-1）（8分）
∵
∴（11分）
即對(duì)?n∈N^*，不等式恒成立（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，以及以不等式為載體考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．