Question

在五面體ABCDEF中，AB∥DC，∠BAD=

π

2

，CD=AD=2，四邊形ABFE為平行四邊形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，F(xiàn)C=3，ED=

7

．求：
（Ⅰ）求兩異面直線BF與DE所成角的余弦值；
（Ⅱ）FC與平面FAD的所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出兩異面直線BF與DE所成角的余弦值．
（Ⅱ）求出

FC

=（2，2，-1），平面FAD的法向量

n

=（1，0，0），利用向量法能求出FC與平面FAD的所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）∵AB∥DC，∠BAD=

π

2

，∴CD⊥AD；
又∵FA⊥平面ABCD，
由三垂線定理知CD⊥FD，
∴CD⊥面FAD，
在Rt△ABC中，F(xiàn)D=

FC2-CD2

=

9-4

=

5

，
由FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，
在Rt△FAD中，F(xiàn)A=

FD2-AD2

=

5-4

=1，
由FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，
又由∠BAD=

π

2

，得AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABFE，∴DA⊥AE，
在Rt△AED中，AE=

ED2-AD2

=

7-4

=

3

，
∵四邊形ABFE為平行四邊形，
∴BF=AE=

3

，AB=EF=

3-1

=

2

，
由題意，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，
AF為z軸，建立空間直角坐標系，
則B（

2

，0，0），F(xiàn)（0，0，1），D（0，2，0），E（-

2

，0，1），
∴

BF

=（-

2

，0，1），

DE

=（-

2

，-2，1），
∴cos＜

BF

，

DE

＞=

2+0+1

3 • 7

=

21

7

，
∴兩異面直線BF與DE所成角的余弦值為

21

7

．
（Ⅱ）由已知得C（2，2，0），
∴

FC

=（2，2，-1），
平面FAD的法向量

n

=（1，0，0），
設(shè)FC與平面FAD的所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

FC

，

n

＞|=

2

3

．
∴FC與平面FAD的所成角的正弦值為

2

3

．

點評：本題考查兩異面直線所成角的余弦值的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．