Question

甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為

1

4

，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為

1

12

，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為

2

9

．
（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率．

Answer 1

分析：（1）由已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為

1

4

，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為

1

12

，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為

2

9

．結果獨立事件概率公式，構造方程，易得甲、乙、丙三臺機床各自加工零件是一等品的概率；
（2）甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品與甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，沒有一個一等品為互斥事件，我們可能根據互斥事件概率的關系，求出甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，沒有一個一等品的概率，再進一步求出從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率．

解答：解：（Ⅰ）設A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件．
由題設條件有

P(A• B )= 1 4 P(B• C )= 1 12 P(A•C)= 2 9 .

即

P(A)•(1-P(B))= 1 4 P(B)•(1-P(C))= 1 12 P(A)•P(C)= 2 9 .

由①、③得P(B)=1-

9

8

P(C)
代入②得27[P（C）]²-51P（C）+22=0．
解得P（C）=

2

3

或

11

9

（舍去）．
將P(C)=

2

3

分別代入③、②可得
P(A)=

1

3

，P(B)=

1

4

.
即甲、乙、丙三臺機床各加工的零件是一等品的概率分別是

1

3

，

1

4

，

2

3

.
（Ⅱ）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的事件，
則P(D)=1-P(

.

D

)=1-(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))=1-

2

3

•

3

4

•

1

3

=

5

6

.
故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為

5

6

.

點評：若A事件發(fā)生的概率為P（A），B事件發(fā)生的概率為P（B），則
①A，B同時發(fā)生的概率為P（A）P（B）；
②A，B同時不發(fā)生的概率為P（

.

A

）P（

.

B

）；
③A不發(fā)生B發(fā)生的概率為P（

.

A

）P（B）；
④A發(fā)生B不發(fā)生的概率為P（A）P（

.

B

）；