Question

已知函數(shù)f（x）=

ex+a

ex-a

（a∈R）．
（1）當a≥0時，根據(jù)a的不同取值討論函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并說明理由．
（2）當a=-1時，如對任意的t∈R，不等式f（t²-2t+1）+f（-k-2t²）≤0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）討論a=0，a＞0，函數(shù)的奇偶性，注意函數(shù)的定義域是否關于原點對稱；
（2）首先判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，不等式f（t²-2t+1）+f（-k-2t²）≤0
即為f（t²-2t+1）≤-f（-k-2t²）=f（k+2t²），再由單調(diào)性和二次函數(shù)的值域，即可得到k的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

ex+a

ex-a

當a=0時，f（x）=1，則為偶函數(shù)；
當a＞0時，e^x≠a，則x≠lna，即f（x）的定義域不關于原點對稱，
則為非奇非偶函數(shù)；
（2）f（x）=

ex-1

ex+1

，定義域R，f（-x）=

e-x-1

e-x+1

=-f（x），
則為奇函數(shù)，又f（x）=1-

2

ex+1

，由于e^x為增，則f（x）也為增．
不等式f（t²-2t+1）+f（-k-2t²）≤0
即為f（t²-2t+1）≤-f（-k-2t²）=f（k+2t²），
即有t²-2t+1≤k+2t²，即k≥-t²-2t+1，
由于-t²-2t+1=-（t+1）²+2≤2，
則有k≥2．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用：解不等式，考查二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．