Question

13．在等比數(shù)列{a_n}中，已知a₄=8a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{|a_n-4|}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，a₄=8a₁，可得${a}_{1}{q}^{3}$=8a₁，解得q．又a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，可得2（a₂+1）=a₁+a₃，當然解得a₁，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）n=1時，a₁-4=-2＜0，可得S₁=2．當n≥2時，a_n-4≥0．數(shù)列{|a_n-4|}的前n項和S_n=2+（a₂-4）+（a₃-4）+…+（a_n-4），再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₄=8a₁，∴${a}_{1}{q}^{3}$=8a₁，a₁≠0，解得q=2．
又a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，∴2（a₂+1）=a₁+a₃，∴2（2a₁+1）=a₁（1+2²），解得a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）n=1時，a₁-4=-2＜0，∴S₁=2．
當n≥2時，a_n-4≥0．
∴數(shù)列{|a_n-4|}的前n項和S_n=2+（a₂-4）+（a₃-4）+…+（a_n-4）
=2+2²+2³+…+2ⁿ-4（n-1）=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-4（n-1）=2ⁿ⁺¹-4n+2．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n+1}-4n+2，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．