Question

8．已知曲線C₁：y²=tx （y＞0，t＞0）在點M（$\frac{4}{t}$，2）處的切線與曲線C₂：y=e^x+l-1也相切，則t的值為（　�。�

• A． 4e²
• B． 4e
• C． $\frac{e^x}{4}$
• D． $\frac{e}{4}$

Answer 1

分析 求出y=$\sqrt{tx}$的導數(shù)，求出斜率，由點斜式方程可得切線的方程，設切點為（m，n），求出y=e^x+1-1的導數(shù)，可得切線的斜率，得到t的方程，解方程可得．

解答 解：曲線C₁：y²=tx（y＞0，t＞0），即有y=$\sqrt{tx}$，
y′=$\sqrt{t}$•$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
在點M（$\frac{4}{t}$，2）處的切線斜率為$\sqrt{t}$•$\frac{1}{2\sqrt{\frac{4}{t}}}$=$\frac{t}{4}$，
可得切線方程為y-2=$\frac{t}{4}$（x-$\frac{4}{t}$），即y=$\frac{t}{4}$x+1，
設切點為（m，n），則曲線C₂：y=e^x+1-1，
y′=e^x+1，e^m+1=$\frac{t}{4}$，
∴m=ln$\frac{t}{4}$-1，n=m•$\frac{t}{4}$-1，n=e^m+1-1，
可得（ln$\frac{t}{4}$-1）•$\frac{t}{4}$-1=e${\;}^{ln\frac{t}{4}}$-1，
即有（ln$\frac{t}{4}$-1）•$\frac{t}{4}$=$\frac{t}{4}$，可得$\frac{t}{4}$=e²，
即有t=4e²．
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查導數(shù)的幾何意義，正確求導和運用點斜式方程是解題的關鍵，注意轉化思想的合理運用．