Question

函數(shù)f（x）=ax-

a

x

-2lnx（a∈R） 
（Ⅰ）當a=

1

2

時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞

2e

e2+1

，若m，n分別為f（x）的極大值和極小值，若S=m-n，求S取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數(shù)，令它大于0，得到增區(qū)間，令小于0，得到減區(qū)間，注意定義域；
（Ⅱ）設f′（x）=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），所以m=f（x₁），n=f（x₂），S=m-n=2（ax₁-

a

x1

-2lnx₁），將a=

2x1

1+x12

，代入化簡，構造函數(shù)g（x）=

x-1

x+1

-

1

2

lnx，求導數(shù)，應用單調(diào)性，即可得到S的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

（x＞0），
a=

1

2

時，f′（x）=

x2-4x+1

2x2

，
f′（x）＞0，得x＞2+

3

或0＜x＜2-

3

；f′（x）＜0，得2-

3

＜x＜2+

3

．
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2-

3

），（2+

3

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（2-

3

，2+

3

）．
（Ⅱ）由△＞0得4-4a²＞0，即-1＜a＜1且

2e

1+e2

＜a＜1，得

2e

1+e2

＜a＜1，
此時設f′（x）=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），所以m=f（x₁），n=f（x₂），
因為x₁x₂=1，所以x₁＜1＜x₂，
由

2e

1+e2

＜a＜1，且ax₁²-2x₁+a=0，得

1

e

＜x₁＜1，
所以S=m-n=ax₁-

a

x1

-2lnx₁-（ax₂-

a

x2

-2lnx₂）=ax₁-

a

x1

-2lnx₁-（

a

x1

-ax₁+2lnx₁）
=2（ax₁-

a

x1

-2lnx₁）
由ax₁²-2x₁+a=0得a=

2x1

1+x12

，代入上式得，
S=4（

x12-1

x12+1

-lnx₁）=4（

x12-1

x12+1

-

1

2

lnx₁²）
令x₁²=t，所以

1

e2

＜t＜1，g（x）=

x-1

x+1

-

1

2

lnx，則S=4g（t），
g′（t）=

-(x-1)2

2x(x+1)2

＜0，所以g（x）在[

1

e2

，1]上單調(diào)遞減，從而g（1）＜g（t）＜g（

1

e2

），
即0＜g（t）＜

2

1+e2

，所以0＜S＜

8

1+e2

．

點評：本題考查導數(shù)的綜合應用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查二次方程的兩根的關系，構造函數(shù)應用導數(shù)判斷單調(diào)性，是一道綜合題．